一般来说，设(shè)函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得(dé)到一个函数(shù)g(y)在每一处g(y)都等于(yú)x，这样的函数(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的(de)反(fǎn)函(hán)数(shù)，记作y=f-1(x) 。

　　反函数y=f-1(x)的定义(yì)域(yù)、值域分(fēn)别是函(hán)数y=f(x)的值域、定义(yì)域。

　　最(zuì)具(jù)有(yǒu)代(dài)表性(xìng)的反函数就是对数函数与(yǔ)指数函(hán)数。

　　函(hán)数f(x)与(yǔ)它的反函数f-1(x)图象(xiàng)关于(yú)直(zhí)线y=x对称；

　　函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；

　　函数存(cún)在反(fǎn)函数的充要条件是，函数的定义域与值(zhí)域(yù)是一一映射等。

　　反(fǎn)函数性质：函数f(x)与它的反函数(shù)f-1(x)图象(xiàng)关于直线y=x对(duì)称；

　　函(hán)数(shù)及其反函(hán)数的图形关(guān)于直线y=x对称；

　　函数(shù)存(cún)在反函数的充要(yào)条件是(shì)，函数的(de)定义域与值域是一一映射的。

　　1、反函数的定义域是原函(hán)数的值域，反(fǎn)函数(shù)的值(zhí)域是原函数(shù)的定(dìng)义域。

　　2、互为反函(hán)数的两个函数的图像关于直(zhí)线y=x对(duì)称(chēng)。

　　3、原函数若是奇函数，则(zé)其反函数(shù)为奇函(hán)数。

　　4、若函数是单(dān)调函数，则一定(dìng)有反函数，且反函数(shù)的单调性与原(yuán)函(hán)数的(de)一(yī)致。

　　5、原函(hán)数与反函数的图像(xiàng)若有交点，则(zé)交点一(yī)定在直(zhí)线y=x上或关于直线y=x对称出(chū)现(xiàn)。

反函数有(yǒu)哪些性质

　　性(xìng)质：

　　（1）函数f(x)与(yǔ)它的反函数f-1(x)图象(xiàng)关(guān)于(yú)直(zhí)线y=x对(duì)称；

　　（2）函数存在反函数的充要条件是(shì)，函(hán)数的定义域(yù)与(yǔ)值域是一(yī)一映射；

　　（3）一个(gè)函数与它的(de)反(fǎn)函数(shù)在相应区间上单(dān)调性(xìng)一致；

　　（4）大部分偶函数(shù)不(bù)存在反函数（当(dāng)函(hán)数y=f(x)， 定(dìng)义域(yù)是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数(shù)），则函数f(x)是(shì)偶函数且有反函(hán)数，其反函数的定义(yì)域(yù)是{C}，值域为{0} ）。

　　奇(qí)函(hán)数(shù)不一定存在(zài)反函数，被(bèi)与y轴(zhóu)垂(chuí)直的直线截时(shí)能过(guò)2个及(jí)以上(shàng)点(diǎn)即(jí)没有反函(hán)数。

　　腔神若一个奇函数(shù)存在反函数(shù)，则它的反函数也是奇森(sēn)圆穗(suì)函数。

　　（5）一段连续的函数的(de)单调性在对应区间(jiān)内(nèi)具(jù)有一致性；

　　（6）严增（减）的(de)函数一定有严格增（减）的反函数；

　　（7）反函数(shù)是相互的且具有(yǒu)唯一性；

　　（8）定义域、值域相(xiāng)反对应法则(zé)互(hù)逆（三反）；

　　（9）反函数的导数(shù)关(guān)系：如果(guǒ)x=f(y)在(zài)开区间I上严格(gé)单调(diào)，可导，且f(y)≠0，那么它的反函(hán)数y=f-1(x)在(zài)区(qū)间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导(dǎo)，且：

　　（10）y=x的反函数(shù)是它(tā)本(běn)身(shēn)。

　　扩此卜(bo)展资料：

　　反(fǎn)函数(shù)定义：

　　设函数y=f(x)的定义域是D，值(zhí)域是f(D)。

　　如果(guǒ)对(duì)于值域f(D)中的每一个y，在(zài)D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对(duì)应(yīng)法则得到了一(yī)个定义(yì)在f(D)上(shàng)的函(hán)数。

　　并把(bǎ)该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为由该(gāi)定义可以很快(kuài)得出函数f的定义域(yù)D和值域f(D)恰好(hǎo)就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是(shì)f，也就是说，函(hán)数f和(hé)f-1互(hù)为反函数(shù)，即：

　　反函数与原(yuán)函数的(de)复合函数(shù)等于x，即：

　　习(xí)惯(guàn)上(shàng)我们(men)用x来表示自(zì)变量，用(yòng)y来表(biǎo)示(shì)因变量，于是函数(shù)y=f(x)的反函数通(tōng)常写(xiě)成

　　 。

　　例(lì)如，函数(shù)  

　　的反函(hán)数(shù)是  。

　　相对(duì)于反函(hán)数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为(wèi)直接函数。

　　反函数和直接函数的图(tú)像关于直线(xiàn)y=x对称。

　　这是(shì)因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。

　　根(gēn)据(jù)反函数的定义，有a=f-1(b)，即(jí)点(b,a)在反(fǎn)函数y=f-1(x)的(de)图像上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于直(zhí)线(xiàn)y=x对(duì)称，由(yóu)(a,b)的任(rèn)意性(xìng)可(kě)知f和f-1关于y=x对称。

　　于(yú)是(shì)我(wǒ)们可(kě)以(yǐ)知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那(nà)么这两(liǎng)个函数互为反(fǎn)函(hán)数。

　　这也(yě)可(kě)以(yǐ)看做(zuò)是反(fǎn)函数的一个几何定(dìng)义(yì)。

　　在微积(jī)分里，f (n)(x)是(shì)用来指f的n次微分的(de)。

　　若一函数(shù)有反(fǎn)函数(shù)，此(cǐ)函数便称为可(kě)逆的（invertible）。

　　参考资料：百(bǎi)度百(bǎi)科---反(fǎn)函数

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