拐(guǎi)点：函数凹凸性发生变(biàn)化的(de)点。

　　如何判定驻点(diǎn)：只需要函数(shù)在

　　拐点，又称反曲点(diǎn)，在数学上(shàng)指改(gǎi)变曲线向上或向下方向的点，直观(guān)地(dì)说(shuō)拐点是使(shǐ)切线穿越曲线(xiàn)的(de)点(diǎn)。

　　驻点(diǎn)又(yòu)称为平稳点、稳定点(diǎn)或临界点是函(hán)数的一阶导(dǎo)数为零。

　　驻点：一阶导数为(wèi)0的点。

　　拐点：函数凹凸性(xìng)发生变化(huà)的点。

　　如何判定驻(zhù)点：只需要(yào)函数在某(mǒu)点一(yī)阶可导(dǎo)，且一(yī)阶(jiē)导数值(zhí)为0。

　　如(rú)何判定(dìng)拐(guǎi)点：1，若函数二阶可导，某点(diǎn)二阶导数(shù)值(zhí)为零(líng)，两端二阶导数值异号。

　　2，若(ruò)函数三阶可导，则二阶(jiē)导数为0，三阶导数不为0的点(diǎn)就是(shì)拐点。

　　可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的(de)拐点：

　　⑴求(qiú)f''(x)；

　　⑵令f''(x)=0，解出此(cǐ)方(fāng)程在区间(jiān)I内(nèi)的实根，pupil是什么意思 pupil是可数名词吗并求出在区间(jiān)I内f''(x)不存在的点；

　　⑶对于⑵中求出的每(měi)一个实(shí)根(gēn)或二阶导数不存在的点X0，检查f''(x)在(zài)X0左(zuǒ)右两侧邻(lín)近的符号，那么当两侧(cè)的符号相反时，点(X0,f(X0))是(shì)拐(guǎi)点，当(dāng)两侧的符号相(xiāng)同时，点(X0,f(

　　X0))不是拐点。

　　驻点

　　在微(wēi)积分，驻点又称为平稳点、稳定点或(huò)临界(jiè)点(diǎn)是函数的一阶导(dǎo)数为零，即在“这一(yī)点”，函(hán)数(shù)的(de)输出值(zhí)停止(zhǐ)增加或减少(shǎo)。

　　对(duì)于(yú)一维函数的图像，驻(zhù)点的(de)切线平行于(yú)x轴(zhóu)。

　　对于二维(wéi)函(hán)数的图像，驻(zhù)点的切(qiè)平面平行于xy平面。

　　值得(dé)注意的是，一个函数的驻(zhù)点不一定是(shì)这个函数的极值点（考虑到这一(yī)点左右一阶导数符号不(bù)改变(biàn)的(de)情况）；

　　反过来，在(zài)某(mǒu)设定区域内(nèi)，一个函数(shù)的极值点也不(bù)一定是这个(gè)函数(shù)的(de)驻(zhù)点（考虑到(dào)边界条件(jiàn)），驻点（红色）与拐点(diǎn)（蓝色），这图像的驻点都是局部极大(dà)值或局部(bù)极小值

驻(zhù)点和拐点有什么区别？

　　区别：在驻点处的单调性可能改变(biàn)，在拐点处单调(diào)性也可能发生改变，但凹凸性肯定改(gǎi)变。

　　拐点不一定是(shì)驻点，例如纯神y=x三次方(fāng)+x。

　　因为二阶导数某点为0不能判定(dìng)一(yī)阶导数在某(mǒu)点为(wèi)0。

　　驻点(diǎn)显然更不(bù)一做(zuò)大亏(kuī)定是拐点，驻点只(zhǐ)需要一阶导数为(wèi)0，而拐点需要二阶可(kě)导。

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　　函仿猜(cāi)数的导(dǎo)数为0的点称(chēng)为函数的驻点,驻点可以划(huà)分函(hán)数的(de)单调区间.(驻点也称为稳定点,临界点.)

　　在(zài)驻点处的单(dān)调性可能改变,在拐点(diǎn)处单调性也可能发生改变,但凹凸性肯定改变。

　　拐点：二(èr)阶导数为零,且(qiě)三阶导不为(wèi)零； 

　　驻点：一阶(jiē)导数为零。

　　二(èr)阶导数为(wèi)零时,一阶(jiē)不一(yī)定为零；一阶导数为零时,二阶不一定为零。

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